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Calculadora de Fatorial (n!)
Calcule o fatorial de números inteiros de 0 a 1.000 com precisão exata arbitrária em BigInt. Exibe o resultado completo sem arredondamentos, quantidade exata de dígitos, zeros finais pela fórmula de Legendre, estimativa assintótica de Stirling e decomposição passo a passo.
Entrada de Dados
Operação: n! = n × (n−1) × ... × 1
Em JavaScript, 18! é o último fatorial seguro no tipo Number. O KALKIO calcula todas as multiplicações com o tipo nativo BigInt, garantindo exatidão absoluta de todos os algarismos até 1.000!.
Resultado inteiro rigorosamente exato, preservando todos os algarismos sem arredondamento.
Resolução Passo a Passo Didática
Entenda cada etapa do cálculo, decomposição dos fatores e propriedades combinatórias
Fase 1: Definição Formal Aplicada ao Número
Para n = 5, o fatorial representa o produto de todos os números inteiros positivos de 1 até 5.
Fase 2: Decomposição em Fatores Multiplicativos
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1
Fase 3: Multiplicação dos Termos e Resultado Exato
5 × 4 = 20 → 20 × 3 = 60 → 60 × 2 = 120 → 120 × 1 = 120.
Fase 4: Contagem Exata de Zeros Finais (Fórmula de Legendre)
Zeros finais = ⌊5 / 5⌋ = 1 zero à direita.
Fase 5: Aplicação em Análise Combinatória (Permutação Simples)
O número de maneiras distintas de ordenar 5 objetos em fila (P₅ = 5!) é exatamente 120 permutações.
Exemplos Práticos Interativos
Clique em qualquer cenário para preencher e calcular automaticamente na hora
Fatorial de Zero: 0! = 1
Demonstração da propriedade do produto vazio e da recorrência fundamental: 0! = 1! / 1 = 1.
Fatorial de Um: 1! = 1
Apenas um termo unitário. Base multiplicativa e único elemento em sua permutação própria.
5 Pessoas em uma Fila: 5! = 120
Exemplo clássico escolar: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 ordens distintas possíveis.
Permutação de 10: 10! = 3.628.800
Primeiro exemplo com múltiplos zeros finais: ⌊10/5⌋ = 2 zeros consecutivos à direita.
19! Estoura Number.MAX_SAFE_INTEGER
19! = 121.645.100.408.832.000. Exige obrigatoriamente BigInt para não perder precisão no final.
Fatorial de 50: 65 Dígitos
Número astronômico com 65 dígitos e 12 zeros finais: ≈ 3,041409 × 10⁶⁴.
Fundamentos Teóricos do Fatorial
O fatorial de um número natural $n$, representado pelo símbolo $n!$, é a operação matemática que calcula a multiplicação contínua de todos os números inteiros estritamente positivos desde 1 até $n$. Ele é uma ferramenta basilar em combinatória, cálculo de probabilidades, estatística e teoria dos números.
Por que o fatorial de zero é igual a um (0! = 1)?
Muitos estudantes estranham o fato de $0!$ ser igual a 1. Essa igualdade é sustentada por dois princípios analíticos rigorosos:
- Propriedade do Produto Vazio: Na matemática, multiplicar nenhum fator resulta no elemento neutro da multiplicação, que é o número 1.
- Fórmula de Recorrência: Como $(n+1)! = (n+1) \times n!$, dividindo ambos os lados por $(n+1)$ temos $n! = \frac{(n+1)!}{n+1}$. Ao substituir $n = 0$, obtém-se $0! = \frac{1!}{1} = 1$.
A Fórmula de Legendre e os Zeros Finais
Para descobrir quantos zeros existem no final de $n!$, não é necessário calcular todo o número. Cada zero é formado pela multiplicação de um fator $2$ por um fator $5$. Como os múltiplos de 2 são sempre mais frequentes, basta contar quantos fatores 5 cabem em $n!$, somando $\lfloor n/5 \rfloor + \lfloor n/25 \rfloor + \lfloor n/125 \rfloor + \dots$.