Calculadora de Bhaskara
Resolva equações do 2º grau (ax² + bx + c = 0) com a fórmula de Bhaskara. Obtenha o discriminante (Δ), raízes reais exatas ou aproximadas, coordenadas do vértice da parábola (Xv, Yv), concavidade e resolução passo a passo.
x = (-b ± √Δ) / 2a
Verifique os dados informados:
ax² + bx + c = 0
Informe os coeficientes numéricos. O coeficiente a deve ser diferente de zero (a ≠ 0).
Dica: Aceita números inteiros e decimais com vírgula ou ponto (ex: 0,5 ou 0.5). Pressione Enter para calcular.
Não existem raízes reais (Δ < 0)
Como o discriminante é estritamente negativo, a raiz quadrada √Δ não pertence ao conjunto dos números reais (ℝ). A parábola não intercepta o eixo x.
Resolução Passo a Passo
Casos do Cotidiano, Física e Geometria
Selecione qualquer situação abaixo para preencher os coeficientes e calcular instantaneamente com resolução passo a passo.
* Nota: os exemplos contextualizados são modelos didáticos e ilustrativos para demonstrar a aplicação da matemática quadrática.
| Aplicação | Equação (ax² + bx + c = 0) | Classificação | Resultado Esperado | Ação |
|---|---|---|---|---|
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Geometria — Terreno Retangular
Área de 6 m² e semiperímetro de 5 m
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x² - 5x + 6 = 0 | Δ = 1 > 0 | Dimensões: 3 m e 2 m | |
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Lançamento Vertical (Tempo de Voo)
Modelo ilustrativo h(t) = -5t² + 20t com h=0
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-5x² + 20x = 0 | Δ = 400 > 0 | Solo nos instantes 0 s e 4 s | |
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Queda Livre (Altura Inicial de 80 m)
Modelo ilustrativo h(t) = -5t² + 80 com b=0
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-5x² + 80 = 0 | Δ = 1600 > 0 | Tempo físico de impacto: 4 s | |
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Modelo Quadrático (2 Raízes Positivas)
Parábola invertida com coeficiente a < 0
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-x² + 10x - 21 = 0 | Δ = 16 > 0 | Raízes: x₁ = 3 e x₂ = 7 | |
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Parábola Tangente ao Eixo X (Δ = 0)
Ponto de contato único (raiz real dupla)
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x² - 6x + 9 = 0 | Δ = 0 (Dupla) | Raiz única: x₁ = x₂ = 3 | |
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Equação com Raízes Irracionais
Radicais exatos e aproximação decimal
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x² - 4x + 2 = 0 | Δ = 8 (Irracional) | Raízes: 2 ± √2 (≈ 3,41 e 0,59) | |
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Equação sem Raízes Reais (Δ < 0)
Curva não intercepta o eixo horizontal x
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x² + x + 1 = 0 | Δ = -3 < 0 | Nenhuma raiz real (Δ < 0) |
Como Resolver a Equação do 2º Grau com Bhaskara
A equação quadrática é uma das ferramentas fundamentais da matemática clássica e da física, modelando desde trajetórias de projéteis até curvas de lucro e custo na economia.
Identificação dos Coeficientes
Organize a equação na forma canônica ax² + bx + c = 0. Se faltar o termo com x (b = 0) ou o termo livre (c = 0), a equação é incompleta.
Cálculo do Discriminante (Δ)
O delta determina o número de raízes reais: Δ = b² - 4ac. Se for positivo, há duas raízes; se for zero, uma raiz dupla; se for negativo, nenhuma raiz real.
Fórmula de Bhaskara
Aplique os sinais: x₁ = (-b + √Δ) / 2a e x₂ = (-b - √Δ) / 2a. Quando as raízes são irracionais, preserve a forma com radical para rigor absoluto.
| Valor de Δ | Classificação das Raízes | Interseções com o Eixo X |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Duas raízes reais distintas (x₁ ≠ x₂) | A parábola corta o eixo x em 2 pontos |
| Δ = 0 | Uma raiz real dupla (x₁ = x₂) | A parábola tangencia o eixo x em 1 ponto |
| Δ < 0 | Nenhuma raiz real (raízes complexas) | A parábola não toca nem corta o eixo x |
Perguntas Frequentes (FAQ)
Por que o coeficiente "a" nunca pode ser zero?
Se a = 0, o termo ax² desaparece e a equação torna-se bx + c = 0, que é uma equação do 1º grau (linear), não uma equação quadrática. Além disso, a fórmula de Bhaskara exigiria dividir por 2a = 0, o que é matematicamente indefinido.
O que é o vértice da parábola e para que serve?
O vértice V(Xv, Yv) é o ponto de virada da parábola. Se a > 0, é o ponto de valor mínimo (ex: custo mínimo de uma produção). Se a < 0, é o ponto de valor máximo (ex: altura máxima atingida por um projétil). Suas coordenadas são Xv = -b / (2a) e Yv = -Δ / (4a).
Como a calculadora trata raízes irracionais como √2 ou √8?
Diferente de calculadoras comuns que apenas exibem decimais truncados, a calculadora KALKIO extrai todos os fatores quadrados perfeitos para apresentar a forma exata com radical ((-b ± k√m) / 2a) e, simultaneamente, fornece a aproximação decimal de alta precisão com arredondamento seguro.
Como resolver equações incompletas sem usar a fórmula de Bhaskara?
Quando c = 0, coloque o x em evidência: x(ax + b) = 0, obtendo imediatamente x = 0 ou x = -b/a. Quando b = 0, isole o x²: x² = -c/a e extraia a raiz quadrada x = ±√(-c/a). A ferramenta KALKIO resolve ambos os casos com o mesmo rigor.